Хочу подключаться к своей базе на хостинге удаленно со своего компьютера, либо любого другого сервера. Что для этого нужно?

Предварительно нужно в своей cPanel в разделе "Удаленный MySql" добавить IP адрес хоста (сервера, компьютера...), с которого Вы будете подключаться к базе.
Для подколючения используйте IP адрес сервера и порт 3306. Не забудьте дать пользователю права на операции с базой данных.