Мне нужно реализовать работу с почтой через сторонний сервис, например, Яндекс или gmail. Как это сделать?

В cPanel в разделе Маршрутизация электронной почты выберите из списка нужный домен, укажите Удаленный почтовый обменник - изменить, затем измените основную запись MX согласно рекомендациям Вашего сервиса в разделе Zone Editor.